Материалы

для самостоятельного изучения
темы

Методика проведения
исследования операций

курса

“Исследование операций”

специальность 01.02

1988

1.	Введение

Здесь излагается методика проведения исследования операций. Мы стремились к тому, чтобы после ознакомления с представленным материалом студент оказался более подготовленным к практическому выполнению исследований операций и имел больше шансов на их успешное завершение. С одной стороны, поставленная задача достаточно проста, поскольку нетрудно перечислить этапы процесса проведения таких исследований. Фактически эти этапы почти не отличаются от тех, которые присущи всем научным исследованиям.
С другой стороны, вопросы, рассматриваемые здесь, являются достаточно сложными. По существу, задача заключается в том, чтобы оказать студенту действенную помощь именно в надлежащей реализации этапов, необходимых при проведении исследования операций. Иными словами, трудность состоит не в идентификации отдельных этапов, а в том, чтобы помочь специалисту разработать для каждого этапа конструктивную схему действий, в наибольшей степени отвечающую поставленным задачам. Поэтому основное внимание здесь уделяется не столько описанию этапов исследования операций, сколько вопросам их практического выполнения. Рассмотрение этих вопросов сопровождается соответствующими примерами и иллюстрациями. Таким образом, внимание сконцентрировано на том, “как делать”, а не “что делать”.
Почему мы сосредоточили внимание на методике проведения исследования операций? Это вызвано несколькими причинами.
Прежде всего, использование правильной методики гарантирует, что разработчик не сделает ошибки, которую статистики могли бы отнести к так называемой “ошибке третьего рода”, т.е. он не будет искать решения неверно поставленной задачи. Грамотное проведение исследования операций предупреждает также и возможность неверного решения правильно сформулированной задачи. Если исследовательская группа руководствовалась правильной методикой, то разработанные модели адекватны изучаемой проблеме и допустимы с точки зрения реализации вычислительного процесса, выполняются ограничения на выделяемые средства и сроки выполнения работы, а внедрение результатов исследования осуществляется квалифицированно и эффективно. В этом случае исследование достигает цели. Кроме того, признание успеха работы заказчиком является наибольшим вознаграждением для разработчика. Именно это создает у него чувство полной удовлетворенности результатами своей работы. Если исследование проводится правильно, то повышается вероятность того, что оно получит одобрение руководства и разработчик будет доволен результатами своей работы. Именно этими причинами обусловлен выбор этой темы для обсуждения.
Следует отметить еще одно обстоятельство: методика и руководящие принципы исследований операций, рассматриваемые здесь, не являются универсальными. Каждое исследование имеет свои особенности и требует от исполнителя интуиции, инициативы и воображения, чтобы правильно определить цели проекта и добиться успеха в их достижении. Поэтому этот материал может помочь студенту только в ознакомлении с некоторыми достаточно общими принципами и рекомендациями.
Излагаемые здесь разделы соответствуют основным этапам, характерным для исследований операций. Эти этапы включают:
1)	
определение целей;
2)	составление плана разработки проекта;
3)	формулировку проблемы;
4)	построение модели;
5)	разработку вычислительного метода;
6)	разработку технического задания на программирование, программирование и отладку программы;
7)	сбор данных;
8)	проверку модели;
9)	реализацию результатов.

2.	Определение целей

Первоочередная цель любого исследования операций заключается в том, чтобы выяснить, что ожидает получить в результате его проведения руководитель или пользователь. Другими словами, требуется определить, каковы предполагаемые результаты завершения проекта.
Цель исследования следует формулировать, исходя из сущности решения или решений, на получение которых ориентирована данная работа. Специалисту по исследованию операций следует особо позаботиться о том, чтобы формулировка цели работы не была слишком узкой. Нельзя ставить и излишне широкие цели, что обычно приводит к безуспешной попытке сразу решить все проблемы фирмы в рамках одного всеобъемлющего исследования.
Трудности, с которыми обычно приходится сталкиваться при выяснении у руководителя истинных целей исследования, — это вопрос, который обсуждается очень часто и иллюстрируется многими примерами. Приводимый ниже пример, в котором рассматривается в известном смысле экстремальная, но, в то же время, вполне реальная ситуация, пояснит те сложности, которые приходится преодолевать при формулировке целей исследования.
Одним из администраторов был поставлен вопрос об изучении последствий слияния трех предприятий фирмы в одно. Новое предприятие предполагалось создать на новом месте. Предварительный анализ экономических последствий такого слияния показал, что существующие предприятия функционируют независимо друг от друга и их объединение приведет только к увеличению затрат на производство продукции. Администратор должен был бы знать о таких последствиях, поэтому, прежде чем начать детальное изучение проблемы, было решено выяснить у него, что он ожидает получить в результате исследования. Для этого обсуждения потребовалось несколько дней. В результате оказалось, что главный вопрос заключается в психологической несовместимости администратора с профсоюзным лидером одного из трех предприятий, которые намечалось объединить. После того как выяснилось это обстоятельство, в административно-управленческий штат фирмы был введен вице-президент по вопросам трудовых отношений между администрацией и профсоюзами и идея объединения предприятий отпала. Тем самым было предупреждено проведение исследования, которое практически не имело шансов на успешное завершение.
Специалисту по исследованию операций всегда угрожает опасность неверного понимания идеи или неточной формулировки целей исследования, и, чтобы он не допустил ошибки на этой стадии, ему обычно рекомендуют не жалеть усилий для выяснения существа проблемы. Однако в таких рекомендациях обычно говорится лишь о том, что надо делать, и ничего не сказано о том, как это сделать (поэтому такие советы приносят мало пользы). Рекомендуется также установить контакт с соответствующими административными работниками. Говорить об этом тоже проще, чем сделать. На самом же деле трудность заключается в другом. Необходимо знать, каким образом организовать работу на этом начальном этапе исследования и как установить тесные контакты с администрацией, чтобы лучше уяснить ее нужды и требования. Другими словами, исследователю надо четко представлять, какова должна быть линия его поведения, чтобы после серии обсуждений с администрацией были выявлены ее действительные проблемы и потребности. В связи с этим исследователю можно дать следующие пять советов:
1. Он должен не только слушать, но и слышать, что ему говорят. Очевидность сказаного уступает только частоте, с которой этому совету не следуют на практике.
2. Он должен поставить себя на место руководителя и посмотреть на проблему его глазами. Другими словами, исследователю следует уяснить задачи, которые были поставлены перед руководителем, ограничения и политические обязательства, влияющие на его поведение, противоречивые цели, между которыми он старается найти компромисс. Насколько это возможно, исследователь должен знать личные качества руководителя, его склонности и предубеждения.
3. Исследователь должен также знать организацию, которая будет оказывать влияние на его деятельность. Ему следует тщательно ознакомиться с существующей иерархией управления, функциями различных групп, предыдущими исследованиями соответствующих вопросов и т.д.
4. Он должен воздерживаться от высказывания своего предвзятого мнения о проблеме и попыток втиснуть ее в рамки своих прежних представлений ради того, чтобы использовать желательный для себя подход к ее решению.
5. Очень важно, чтобы утверждения и замечания руководителя не остались непроверенными. Слишком часто исследователь сидит и из вежливости и почтительности лишь пассивно выслушивает руководителя. Такое поведение никогда не приведет к выявлению сути проблемы. Исследователь должен спрашивать и проверять. Почему вы это говорите? Что вы под этим подразумеваете? Когда вы хотите сделать это? Подобные вопросы исследователь должен задавать все время.
Добиться четкого понимания целей исследования, прежде чем начать его, необходимо, но, к сожалению, недостаточно. Требуется также предвидеть, как эти цели могут измениться с течением времени или в связи с тем, что исследование заинтересует руководителей другого уровня. Следующий пример служит характерной иллюстрацией того, что тщательное определение целей является лишь необходимым, но во многих случаях еще не достаточным отправным моментом успешного исследования.
Для кредитной фирмы требовалось разработать имитационную модель ее деятельности в части оформления и оплаты счетов клиентов - владельцев кредитных карточек. Цель разработки модели состояла в том, чтобы содействовать решению вопросов оперативного характера, касающихся:
a)	распределения счетов клиентов между различными расчетными центрами фирмы;
b)	установления сроков оплаты различных групп счетов в пределах месячного периода.
Исследование проводилось под руководством вице-президента фирмы, ответственного за решение указанных задач. Была разработана имитационная модель, описывающая порядок, в соответствии с которым три расчетных центра фирмы должны были осуществлять перечисление сумм на оплату счетов клиентов. Так как условия выдачи и погашения кредита для клиентов различных категорий не одинаковы, поведение клиентов в части использования кредита рассматривалось в модели как функция типа счета, местоположения клиента и ряда других факторов. Динамика погашения кредита по каждому типу счета тоже была различной, и при построении модели это обстоятельство тоже было учтено. В итоге имитационная модель позволила определить лаги между занесением расходов на счет владельца кредитной карточки, оплатой фирмой услуг тех предприятий сферы обслуживания, к которым обращался владелец кредитной карточки, предъявлением счета клиенту фирмы и поступлением от него взносов на погашение кредита. Получающиеся в результате моделирования перспективные оценки движения наличных денежных средств фирмы должны были использоваться в качестве основы для принятия решений по упомянутым выше вопросам.
Была разработана машинная программа имитационной модели и начато ее использование. Отчет об успешном завершении работы был представлен некоторым руководящим работникам фирмы, включая заведующего финансовым отделом, который понял, что разработанная модель могла бы служить и для описания движения средств в банковской системе фирмы и поэтому была бы полезна ему для прогнозирования возможного избытка или дефицита наличных денежных средств в течение ближайших нескольких недель. Он высказал пожелание использовать такую модель при решении вопросов краткосрочного финансирования. Чтобы обеспечить эти дополнительные функциональные возможности модели, потребовались ее доработка, включающая составление новых программ и повторные испытания. Если бы целевое назначение модели с самого начала было определено с учетом интересов всех уровней руководства, процесс ее разработки был бы более эффективным. Несмотря на то, что указанные дополнительные возможности модели были выявлены исследовательской группой в начале работы, выделение средств на их реализацию предусмотрено не было. Заведующий финансовым отделом не проявлял интереса к проекту до тех пор, пока ему не была продемонстрирована успешно работающая имитационная модель, способствующая решению текущих вопросов по кредитованию.
Приведенный пример - это лишь одна из иллюстраций достаточно распространенной ситуации, с которой должен быть знаком исследователь. Ее можно определить как синдром китайского бейсбола. Возможно, наиболее важный результат ознакомления с данным материалом будет состоять в том, что она поможет исследователю предотвратить такую ситуацию и тем самым избежать ее пагубного влияния. Важность этого момента определяется тем фактом, что во многих случаях, когда исследователей обвиняют в решении неверно поставленной задачи, действительным препятствием успешному проведению работы является та или иная разновидность синдрома китайского бейсбола.
Описать эту игру легко: она аналогична американскому варианту бейсбола, за исключением следующего правила: с того момента, когда мяч вылетел из руки подающего, и до мгновения, пока он не окажется в рукавице принимающего, команда, находящаяся в поле, имеет право перемещать базы любым желаемым образом. Читатель, несомненно, поймет, что он сам неоднократно оказывался в роли невольного участника игры в китайский бейсбол.

3.	Составление плана разработки проекта

Второй этап исследования — составление плана выполнения проекта. Исследование операций во многих отношениях представляет собой творческий процесс. Поэтому нередко возникает естественный вопрос: как можно планировать такую работу? Ответ достаточно прост, если под планированием подразумевается не выбор методов выполнения тех или иных работ, а установление реперных точек, т.е. временных координат, соответствующих необходимым срокам завершения определенных видов работ. Последнее — одна из необходимых форм контроля за ходом разработки проекта, тогда как первое — это творческая процедура. Однако установление сроков выполнения промежуточных этапов стимулирует проявление творческой активности и содействует своевременному окончанию соответствующих работ. Многим знакома обстановка, царящая в последние день-два до истечения крайнего срока выполнения работы. Поэтому требование уложиться в сроки, установленные планом, заставляет проявлять творческую инициативу (необходимость — мать изобретательности), подталкивает исследователя к завершению работы и, в конечном счете, содействует успешной разработке проекта в целом. И наоборот, отсутствие установленных сроков и их нарушение приводят к пассивности в работе исследователей и уменьшению интереса к ней со стороны руководства.
Нарушение графика работ создает дополнительные осложнения. Руководители часто бывают заинтересованы в том, чтобы работа была выполнена в сжатые сроки. Если проведение исследования чрезмерно затягивается, то проблема или, по крайней мере, ее понимание руководителем изменяется. В результате исследователь решает не ту задачу, которая нужна в данный момент. Разумеется, руководитель может при этом использовать отмеченное выше правило китайского бейсбола. Но исследователь и сам может создать определенные трудности, если не сумеет правильно распределить свою работу во времени, выбрать нужную линию поведения и придерживаться установленного графика работ.
Здесь уместно высказать одно предостережение. Хотя составление плана работ дисциплинирует исследователя и помогает ему работать по определенному графику, влияние плана оказывается менее эффективным при появлении одного характерного обстоятельства, которое нередко сопутствует успешному проведению работы и может быть названо синдромом “жадности”. Этот синдром – следствие того факта, что руководитель вовремя не оценил потенциальные возможности проводимого исследования. Наглядным примером служит рассмотренная ранее ситуация, связанная с разработкой имитационной модели движения наличных денежных средств для кредитной фирмы. Синдром жадности во многих случаях требует от исследователя выполнения дополнительного объема работ, а также преждевременного внедрения модели и участия в решении текущих вопросов. Во многих отношениях синдром жадности проявляется как частный случай синдрома китайского бейсбола со столь же опасными последствиями. Самое досадное из них – непродуманное расширение проекта вызывает отставание от календарного плана работ, но когда, наконец, наступает срок подведения итогов (при составлении годовых финансовых отчетов), руководитель нередко забывает о своих требованиях проведения всех дополнительных работ.
Как документ, регламентирующий процесс исследования, план разработки проекта представляет собой просто календарный график выполнения его этапов. Часто эти этапы соответствуют разделам, составляющим данную главу. Такой план обычно представляется в виде диаграммы Ганта (Рис. 1).

	Месяц	
Этап	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	
Определение целей
													
Составление плана проекта
													
Формулировка проблемы
													
Построение модели
													
Разработка вычислительного метода													
Разработка технического задания на программирование													
Программирование и отладка программы													
Сбор данных
													
Проверка модели
													
Реализация результатов операционного исследования													
Рис. 1. План проекта в виде диаграммы Ганта.
Этапы проекта во многих случаях детализируются до уровня отдельных заданий. Например, этап, связанный с разработкой вычислительного метода, может включать следующие задания:
1.	Разработать соответствующий метод решения для каждой подмодели (частной модели) рассматриваемой задачи.
2.	Описать и документально оформить методы решения. В итоговом докладе (сообщении) для каждой модели следует привести описание входной и выходной информации, а также процедур расчета, необходимых для получения решения. Процедуры расчета следует представить в аналитической форме и привести их словесное описание и требуемые пояснения.
3.	Проверить предлагаемые методы решения на выбранных задачах небольшой размерности. Этот этап должен подтвердить возможность реализации предлагаемых методов решения и, кроме того, обеспечить точность документального оформления модели, прежде чем она будет переведена в машинную программу.
4.	Внести необходимые уточнения и изменения в методы решения на основании результатов пробных расчетов, выполненных вручную.
5.	Подготовить краткое изложение результатов испытаний, сопроводив его документально оформленными методами решения.
6.	Подготовить и представить в надлежащей форме отчет о результатах данного этапа исследования.
Детальная разработка плана, рассмотренная выше, нередко оказывается очень важной для обоснованной оценки времени и ресурсов, требуемых для выполнения проекта. Разбиение всего исследования на отдельные последовательные этапы – лучший способ надежной оценки необходимых финансовых, людских и временных ресурсов еще до начала работы над проектом. Другими словами, составление плана разработки проекта увеличивает вероятность того, что исследование будет завершено в соответствии с графиком работ и в пределах выделеных ассигнований.
При составлении плана во многих случаях следует уделить основное внимание распределению работ по отдельным исполнителям. В этом случае форма его представления близка к приведенной на Рис. 2. Нумерация заданий соответствует той, которая была принята ранее при разбиении этапа разработки вычислительного метода.

Исполнители	Неделя	
	15	16	17	18	19	20	21	

Руководитель
проекта	1	2	3	6	

Разработчик
	1	2	3	4	5	
Рис. 2. План распределения работ по исполнителям.
Заслуживают краткого упоминания еще два дополнительных момента, связанных с составлением плана проекта. Во-первых, это важность установления граничных сроков для выполнения промежуточных этапов. Как уже отмечалось, составление плана дисциплинирует разработчика проекта, заставляя его соблюдать календарный график работы. При этом соблюдение графика означает также своевременное оформление документации, представление докладов руководству и служит официальным основанием для начала новых работ или выполнения следующих этапов исследования.
Второй важный момент касается выделения ресурсов для такого анализа данных, собираемых в процессе исследования, который непосредственно может быть не связан с конкретным целевым назначением разрабатываемого проекта. Важность этого направления работ определяется следующими тремя причинами:
1.	Собирая информацию и заботясь при этом только о выполнении поставленной перед ним частной задачи, разработчик иногда не замечает, что по сравнению с первоначальным замыслом исследование может обеспечить получение ряда дополнительных полезных результатов. Другими словами, всегда существует вероятность неожиданного открытия. Например, руководство одной из фирм на основании ежемесячных расчетов, представляемых главной бухгалтерией, пришло к заключению, что происходит небывалый ранее рост числа отказов от услуг данной фирмы со стороны одной из категорий клиентов. Чтобы воспрепятствовать развитию этого процесса, была подготовлена связанная с большими издержками программа расширения рынка сбыта, ориентированная на этих конкретных потребителей. Группа по исследованию операций, работавшая на этой фирме, пользовалась данными об отказах от услуг фирмы, собранными при изучении других производственных проблем. Однако она обнаружила, что на самом деле никаких фактических отказов не было, а источником зарегистрированного потока отказов является отдел фирмы по электронной обработке данных. Дело заключалось в том, что в рассматриваемый момент этот отдел проводил работу по изменению классификационных групп клиентов и выбрал при этом простейший путь: клиенты, классификационная группа которых изменялась, рассматривались как отказавшиеся от услуг фирмы в рамках одной группы и как дополнительные потребители – в другой. И как раз клиенты той группы, относительно которой поступили сведения об отказах, на самом деле всего лишь переводились из одной категории в другую, а реальных отказов от услуг фирмы не было. Своевременное влияние этого факта предотвратило реализацию ошибочной и дорогостоящей программы расширения рынка сбыта.
2.	В течение всей работы исследователь обязан информировать о ходе разработки проекта руководителя и другой персонал, имеющий отношение к исследованию. Однако руководитель обычно ориентируется на конечные результаты, и в процессе длительной работы над проектом его интерес к исследованию уменьшается, особенно в тех случаях, когда ему докладывают лишь о ходе работ и ничего не сообщают о практическом использовании результатов. Во многих случаях четкий анализ данных, подготовка наглядных гистограмм и схем, а также представление промежуточных результатов оказываются вполне достаточными для того, чтобы поддерживать и укреплять интерес руководителя к проекту.
3.	В конечном счете, такой анализ и обратная связь могут помочь в работе по сбору данных. Наглядным примером этого служит один из проектов, выполненных по заказу министерства обороны США. Для разработки этого проекта требовалось собрать большой объем данных от подразделений сухопутных войск, дислоцированных в Европе. Во время проведения исследования, которое продолжалось год, сбор необходимых данных проводился четыре раза, причем каждый раз процедура сбора данных длилась около месяца. Цель проекта состояла в разработке моделей для определения наиболее экономически выгодного срока службы автотранспортных средств. Эти модели предназначались для использования министерством обороны при решении вопросов, связанных с контрактами на поставку транспортных средств. Таким образом, результаты разработки проекта, казалось бы, не имели непосредственного отношения к подразделениям-поставщикам исходных данных и не предвещали им какой-либо выгоды. Однако для успешной разработки проекта исследователям необходимо было установить тесное сотрудничество с войсковыми подразделениями. Исходя из этого, исследователи наладили определенную обратную связь, в результате чего у войсковых подразделений появилась заинтересованность в проекте для решения собственных проблем. Тем самым создавалась основа для продолжительного сотрудничества с группой по разработке проекта. Чтобы обеспечить указанные условия, определенные усилия группы были направлены на подготовку кратких аналитических сводок и наглядных материалов с использованием данных, полученных от каждого из подразделений. Во время каждой кампании по сбору данных командованию частей предоставлялись соответствующие инструктивные материалы. В результате войсковые подразделения извлекли из разработки проекта конкретную пользу: углубив понимание своей собственной деятельности, они в ряде случаев смогли выявить те участки работы, где, не затрачивая больших усилий, можно было добиться существенной экономии ресурсов или их более эффективного использования.
4.	Формулировка проблемы

Формулировка проблемы – следующий  этап исследования. Он является одним из самых важных этапов и находится как бы на развилке дороги: одно направление ведет к  успеху и удовлетворению результатами работы, другое – к неудаче и крушению надежд. Этот этап включает дополнительные обсуждения с руководителем, часто приводит к первым контактам со штабным и линейным персоналом, а также требует сбора данных, обеспечивающих четкое понимание следующих моментов: в чем состоит существо проблемы, что имело место в прошлом, чего следует ожидать в будущем и каков характер соотношения между переменными исследуемой задачи. На основе полученных результатов формируется общая схема построения модели для изучаемой проблемы и определяется направление всей дальнейшей работы. Важность данного этапа исследований обусловливает необходимость его детального обсуждения.
Первый из вопросов, связанных с формулировкой проблемы, нередко заключается и том, чтобы определить, можно ли представить всю проблему в виде отдельных, более частных подпроблем, с тем, чтобы параллельно или последовательно исследовать их независимо одну от другой. Это особенно часто необходимо в тех случаях, когда рассматриваемая проблема охватывает широкую и сложную сферу деятельности организации. Процесс логического разделения большой проблемы на отдельные элементы, конечно приводит в итоге к получению субоптимального решения. Однако отклонение от оптимума может быть минимальным, если проблему разделить таким образом, чтобы выделенные проблемы по возможности не пересекались.
Чтобы показать, как решается такая задача, рассмотрим пример, связанный с планированием производства продукции и ее распределением. Выясним, как в данном случае была разделена вся проблема на сложные по содержанию, но все же разрешимые проблемы. Требовалось разработать план производства и транспортировки продукции на предстоящий четырехнедельный период, исходя из данных на недельный интервал. На стадии формулировки проблемы был выявлен ряд важных вопросов, в том числе – следующие:
1. 	Каким образом можно было заранее учесть необходимое сезонное накопление товарно-материальных запасов в условиях лишь четырехнедельного планового периода?
2. 	Какой должна быть оптимальная величина складских запасов?
3. 	Какими должны быть размеры партий продукции, отгружаемой на склад, чтобы можно было использовать наиболее выгодные транспортные тарифы?
Все эти вопросы переплетались и с вопросом о выборе практически осуществимого метода решения, допускающего разделение проблемы на части. На Рис. 3 показано, как это сделано. Было принято решение о разработке следующих пяти основных моделей:
1. 	Прогнозирующая модель. Она предназначалась для того, чтобы на основании данных за недельный интервал прогнозировать величину спроса на каждый вид продукции на предстоящий плановый период, равный четырем неделям.
2. 	Модель для складских запасов. Назначение этой модели заключалось в том, чтобы на основе данных прогноза спроса определить оптимальный уровень запасов продукции на складах на конец планового периода. Зная текущий уровень запасов, по этим результатам можно установить минимально необходимый объем производства.
3. 	Модель годового планирования. Цель разработки этой модели состояла в том, чтобы на основе данных прогноза годового объема сбыта, получаемых от отдела по реализации, определить в агрегированном виде объем производства  и уровень запасов для каждого четырехнедельного периода в течение года. Результирующие данные об уровне запасов должны были использоваться при установлении плановых заданий для всей системы управления запасами, а также в модели планирования производства на более короткий период.
4. 	Модель планирования производства. Назначение этой модели заключалось в том, чтобы, используя целевые установки по величине запасов, определяемые годовым планом, а также требования, выдвигаемые моделью для складских запасов, определить необходимые объемы производства для каждой из последующих четырех недель.
5. 	Модель распределения. Она предназначалась для того, чтобы на основе результатов прогноза объема сбыта, данных о складских запасах и планов производства составить план распределения продукции складам.

Рис. 3. Формулировка подпроблем.
Разрабатывая общий подход к анализу крупномасштабных проблем, исследователю следует в общем случае придерживаться следующей принципиальной схемы:
1. 	Начать с рассмотрения центральной задачи исследования; в приведенном выше примере – это задача составления плана на четырехнедельный период.
2. 	Выяснить, какие входные и выходные данные требуются для формирования модели центральной задачи. Это поможет определить подмодели, разработка которых может потребоваться в дальнейшем.
3. 	Установить, существуют ли средства для получения необходимой входной информации или использования результирующей выходной информации. Если такие средства есть, то их следует применить. В противном случае должны быть определены вспомогательные модели.
4. 	Выяснить, что должно быть разработано применительно к каждой из дополнительных моделей: вся модель, быстрый и грубый способ расчета или новые методы ручных расчетов.
Следуя указанной схеме действий, исследователь сможет решить ряд важных вопросов: определить проблемы, поддающиеся управляющим воздействиям, более рационально скоординировать свои усилия с текущей деятельностью персонала организации, учитывая существующие методы работы, и повысить тем самым вероятность успешной реализации результатов исследования. Делая выводы, исследователь должен четко представлять себе целевое назначение моделей и то, как они должны использоваться в рамках решения задач управления, которые он  анализирует.
Уже на этой ранней стадии исследования следует также уделить определенное внимание созданию условий, необходимых для эксплуатации системы. Это очень важно для того, чтобы успех исследования, которое завершается внедрением и новой системы, и новых методов управления, не оказался кратковременным. Если изучение этих вопросов откладывается до этапа внедрения, то впоследствии может выясниться, что возможностей для обеспечения эксплуатации системы недостаточно, а это, как правило, значительно уменьшает “срок жизни” проекта. Следующий список контрольных вопросов может помочь в обеспечении успешного функционирования разрабатываемой системы: 
1. 	Предусмотрены ли средства для непрерывной корректировки входной информации модели?
2. 	Окажется ли документация достаточной для обеспечения других мероприятий по улучшению модели?
3. 	Приняты ли необходимые меры для обеспечения функционирования модели в рамках традиционных методов управления фирмой? Известно, что группа по исследованию операций в редких случаях берет на себя ответственность за применение разрабатываемой системы в таких условиях. Понимают ли руководители, что при внедрении системы могут потребоваться определенные изменения традиционных методов управления?
4. 	Можно ли простым способом модифицировать структуру модели с тем, чтобы отразить в ней изменения деятельности  организации, а также новые возможности и условия?
5. 	Проведен ли необходимый анализ возможных способов использования модели для получения информации о ее слабых местах и ошибках?
Второй вопрос, подлежащий решению на стадии формулировки проблемы, связан с определением степени детализации разрабатываемой модели. Основные факторы, влияющие на его решение, – это объемы выделенных средств, календарный план разработки проекта и цель исследования. Рассматривая данный вопрос, исследователь нередко ошибочно связывает или отождествляет  степень детализации разрабатываемой модели с ее обоснованностью. Однако детализация модели не в полной мере характеризует ее адекватность. Более важно, чтобы разрабатываемая модель не оказалась “смещенной”, т.е. такой, в которой не учтен тот или иной существенный и постоянно действующий фактор. Роль возможных неточностей модели иногда может ошибочно переоцениваться, а в других случаях, наоборот, недооцениваться. В среднем модель должна обеспечивать приемлемую точность предсказания. Степень детализации разрабатываемой модели может и не оказывать существенного влияния на ее “несмещенность”. Чтобы пояснить эту мысль, мы впоследствии приведем несколько примеров смещенных моделей.
После разделения проблемы на соответствующие части и определения желаемой степени детализации модели процесс формулировки проблемы может быть продолжен. Следующая фаза этого процесса связана с определением области применения и размерности разрабатываемой модели. При рассмотрении этой фазы мы выделим пять вопросов, обсуждение которых приводится ниже, причем в качестве иллюстрации будет использован следующий пример.
Необходимо выбрать тип оборудования, предназначенного для текущего и капитального ремонта автотранспортных средств, и составить план его работы. Желательно, чтобы тип оборудования соответствовал требованиям любых организаций, использующих крупный парк автотранспортных средств, таких, как таксомоторные, снабженческо-сбытовые и автобусные компании, государственные транспортные объединения и т.д. Это оборудование должно обеспечивать как непредвиденные ремонтные работы для восстановления вышедших из строя транспортных средств, так и выполнение плановых работ по капитальному и текущему ремонту. Цель исследования – помочь руководителю определить необходимый объем ремонтного оборудования и выбрать рациональные решения по календарному планированию работ, связанных с капитальным ремонтом. Избыток соответствующих производственных мощностей приводит к неоправданным затратам на оборудование и его эксплуатацию, а при недостатке мощностей невозможно будет выполнить требуемый объем работ, определяемый планами капитального ремонта, и работы по устранению случайных поломок и неисправностей. При нерациональном планировании капитального ремонта, с одной стороны, может произойти накопление недопустимого количества транспортных средств, слишком долго простаивающих в ожидании текущего или капитального ремонта, а, с другой стороны, может создаться такая ситуация, когда ремонтом будет охвачено слишком малое число машин и, следовательно, не будет выполнен требуемый для всего парка объем работ по капитальному ремонту.
4.1.	Определение размерности задачи 

Первый этап процесса построения модели связан с определением переменных исследуемой задачи, которые необходимо учитывать. Определение размерности задач может включать, например, установление классификационных групп продуктов производства и рынков сбыта или планового периода с разбиением его на определенные интервалы.
В примере, где рассматривалась задача выбора и использования оборудования для текущего и капитального ремонта, определение размерности связано с решением вопросов о типе транспортных средств, которые должны быть представлены в модели (например, легковые автомобили, грузовики грузоподъемностью  и  тонны), об используемых характерных временных интервалах (например, четырехчасовой интервал, рабочая смена или сутки), о видах проводимых ремонтных работ (например, простые виды ремонта, текущий ремонт после пробега 10 000 км., капитальный ремонт и т.д.).
Размерность задачи часто принимают в качестве заранее заданного условия без какой-либо аргументации. Этого не следует делать. Рассмотрим этот вопрос на примере задачи об увеличении производственных мощностей, которую часто приходится рассматривать администрации и группе по научным методам управления. Удивительно, что группы, ответственные за подготовку соответствующих решений, исключительно редко или вообще никогда не выступают в роли инициаторов необходимого увеличения производственных мощностей, прежде чем эти требования  неоднократно будут выдвинуты производственным персоналом. Такая ситуация должна рассматриваться исследователями и планирующими органами как тревожный сигнал, свидетельствующий о том, что в их подходе к решению данной проблемы присутствуют элементы постоянно проявляющейся предвзятости. Подобная предубежденность может сказаться на выборе длительности анализируемого планового периода. Следующий пример иллюстрирует это обстоятельство. Положим, что производственная деятельность некоторой фирмы характеризуется следующими показателями:

Производственная мощность = 100 изделий в неделю.
Регистрируемый спрос на продукцию = 400 изделий за 4 недели.

Пусть в модели планирования производственной мощности рассматривается четырехнедельный период и на основе сопоставления дополнительных капитальных затрат с ожидаемой экономией от уменьшения дефицита и снижения уровня товарно-материальных запросов планируются капиталовложения. В такой модели может быть упущен существенный момент, который выявляется только при более детальном анализе условий и характеристик произведенной деятельности фирмы. Для планового периода, охватывающего четыре недели, имеют место следующие характеристики:

Объем производства	= 400 изделий	
Спрос на продукцию	= 400	
Стоимость запасов	= 0	
Потерянный сбыт	= 0	
Необходимые дополнительные капиталовложения	= 0	

В рамках четырехнедельного планового периода колебания спроса не заметны. В результате создается впечатление, что фирма не несет убытков, связанных с издержками по хранению излишней продукции или из-за ее дефицита, а производственные мощности соответствуют уровню спроса. Это означает, что дополнительные капиталовложения не дадут прибыли. Однако при рассмотрении более коротких недельных интервалов картина может измениться:

	Недели	
	1	2	3	4	Итого	
Поступившие заявки	80	130	90	110	410	
Производство	100	100	100	100	400	
Запасы	20	0	10	0	30	
Зарегистрированные заявки	80	120	90	110	400	
Потерянный сбыт	0	10	0	0	10	

Из приведенной таблицы видно, что колеблющаяся величина спроса в отдельные периоды превышает существующие производственные возможности фирмы. Таким образом, учитывая пиковые периоды спроса, следует предусмотреть создание необходимых запасов продукции.
Если же запасы недостаточны и спрос не удовлетворяется, то фирма несет убытки. Легко заметить, что в данном случае анализ недельных интервалов свидетельствует об экономической целесообразности капиталовложений на увеличение производственных мощностей.
Этот простой пример иллюстрирует понятие о смещенной модели, которое обсуждалось ранее. Использование в модели четырехнедельного интервала планирования приводит к недооценке целесообразности ввода новых мощностей. Такая модель оказывается смещенной.
4.2.	Определение управляемых переменных             
              
Этот этап, являющийся вторым этапом построения модели, заключается в определении переменных, которые могут изменяться управляющим органом. В процессе формулировки задачи нужно точно определить эти переменные, чтобы разделить все учитываемые параметры на заданные и такие, которые руководство может рассматривать в качестве управляемых. Другими словами, нужно знать, что для рассматриваемой задачи планирования является заданными входными данными, а что – переменными, которые можно изменять, т.е. управляемыми переменными. В задаче об оборудовании для текущего и капитального ремонта автотранспортных средств управляемые переменные могут быть связаны с количеством ремонтных участков и правилами составления календарного плана текущего и капитального ремонта.
Вопрос о том, будет ли создаваться соответствующая производственная база для ремонта или нет (так как можно пользоваться услугами стороннего подрядчика), в данном случае не имеет отношения к выбору управляемых переменных. Конечно, если такая база не создается, то это должно быть следствием детального анализа проблемы и соответствующего решения руководства.
Определение управляемых переменных может показаться простой задачей. Это не всегда так, и неправильное решение данного вопроса может погубить проект, хороший в других отношениях. Следующий пример иллюстрирует отмеченное обстоятельство. Руководство фирмы рассматривало вопрос о закрытии одного из своих основных предприятий, причем это предприятие давало существенную часть общего дохода фирмы. Руководство сочло необходимым провести тщательный анализ этого вопроса, для чего был приглашен коллектив консультантов. Одна группа занималась анализом технологических процессов производства, с тем, чтобы убедиться, что они отвечают самым высоким требованиям. Другая группа собирала и анализировала последние данные об издержках производства, а также оперативную информацию. Одна из исследовательских групп отвечала за разработку методологии использования полученной информации, и, в частности за построение модели, входной информацией для которой должны были служить данные о капиталовложениях в земельный участок, машинное оборудование, технические устройства, здания и сооружения, а также постоянные и переменные составляющие  эксплуатационных расходов. Кроме того, в разрабатываемой модели в качестве входных данных должны были использоваться оценки дохода от реализации каждого вида продукции на рынке сбыта. На базе этой модели предлагалось рассчитать прибыль и убытки, движение наличных денежных средств, прибыль на инвестированный капитал и другие критерии, определяющие решение вопроса о закрытии данного предприятия. Предлагалось, что применение модели даст возможность руководству фирмы рассмотреть также влияние изменения номенклатуры производства и его объемов на издержки и оценить отношение инвестированного капитала к прибыли от действующих фондов, что являлось главным критерием для принятия  решения. Если бы для наиболее вероятных значений входных параметров прибыль на инвестированный капитал удовлетворяла нормативам, принятым в фирме, предприятие могло бы продолжать функционировать. В противном случае оно было бы закрыто.
В результате обсуждения модели с руководством и ее тщательного анализа было выявлено, что при построении модели упущены очень важные моменты, влияющие на решение данной проблемы. В частности, структура производимой предприятием продукции и характеристики рынков ее сбыта рассматривались как независимые входные данные модели. Это не соответствовало реальной обстановке и, очевидно, должно было бы привести к необъективным оценкам ситуации. Из-за многочисленных и сложных ограничений, накладываемых на структуру продукции, непросто оказалось определить наилучший вариант производственной программы или оптимальную степень удовлетворения спроса на различных рынках сбыта. После того, как была понята необходимость введения в модель дополнительных управляемых переменных, формулировка проблемы была изменена. Структура выпускаемой продукции и величена удовлетворенного спроса на каждом из рынков сбыта рассматривались теперь как управляемые переменные, подлежащие оптимизации. В результате был сформирован план производства и распределения продукции, при котором прибыль достигала максимальной величины, что обеспечивало основу объективного измерения рентабельности производства. Таким образом, разработка смещенной модели была предотвращена за счет правильного выбора управляемых переменных .
4.3.	Определение неуправляемых переменных 
                                                                                                
Третий вопрос, подлежащий решению на стадии формулировки проблемы, связан с определением неуправляемых переменных, т.е. таких параметров, которые не могут быть изменены управляющим органом, но оказывают влияние на моделируемую деятельность. В примере, касающемся ремонтного оборудования для автотранспортных средств, такой неуправляемой переменной является вероятность случайных поломок.
В ответ на мероприятия, осуществляемые фирмой, деятельность которой моделируется, конкуренты обычно предпринимают определенные контрмеры. Параметры, характеризующие эти ответные действия, можно отнести к той группе неуправляемых переменных, которую часто забывают учесть в рамках проводимых исследований операций, связанных с изучением конкурентоспособности или анализом типичной для промышленных фирм проблемы адаптации к изменениям внешних условий. Между тем тщательный анализ и влияние таких внешних воздействий нередко представляют собой наиболее важную часть исследования операций. Рассмотрим следующий пример. Одна из фирм-производителей листового стекла захотела выявить, насколько устойчивы ее позиции в конкурентной борьбе. В качестве управляемых переменных модели были определены параметры, характеризующие различные стратегии увеличения производственных мощностей и рыночную политику. В частности, последняя группа включала управляемые переменные, определяемые альтернативными вариантами политики цен, качества продукции и уровня обслуживания клиентов. Модель предназначалась для анализа влияния этих переменных на позиции данной фирмы в борьбе за рынок сбыта. Однако подобная модель не годилась для решения поставленной проблемы, поскольку в ней не учитывались изменения в поведении конкурентов: реакция на новую стратегию фирмы, для которой была построена рассматриваемая модель, а также действия, обусловленные их собственной инициативой по оптимизации производственной деятельности. Вообще, при игнорировании влияния внешних факторов, построенная модель может оказаться неадекватной реальной ситуации и, что еще хуже, ее использование может привести к выработке руководством ошибочной стратегии.
4.4.	Определение технологических параметров системы

Определение технологических параметров является четвертым вопросом, который нужно решить на стадии формулировки проблемы. Технология описывается совокупностью констант и параметров, которые определяют предельные значения переменных и соотношения между ними. Часто приходится моделировать сложные технологические процессы. К счастью, во многих случаях технологические процессы можно описать достаточно простыми способами. Многочисленные примеры этого можно найти в литературе по линейному программированию, содержащей математические модели таких сложных технологических процессов, как переработка нефти или процессы в доменной печи. Применительно к задаче о ремонте автотранспортных средств примерами технологических параметров могут служить трудозатраты на выполнение текущего и капитального ремонта и коэффициент выхода из строя автомашин вследствие случайных поломок .
4.5.	Определение показателей эффективности

Показатели эффективности служат основой для оценки конкретных решений рассматриваемой проблемы. В примере о ремонтном оборудовании для автотранспортных средств в состав показателей эффективности могут быть включены число автомашин, ожидающих ремонта, среднее время ожидания, стоимость сооружения и оснащения ремонтных участков и т.п.
В большинстве случаев исследования операций используется несколько показателей эффективности. Наиболее важные из них следует выявить уже на стадии определения целей исследования. Во многих случаях правильный выбор показателя эффективности без проведения ретроспективного анализа далеко не очевиден. Рассмотрим следующий пример.
В начале второй мировой войны британский торговый флот нес большие потери из-за нападений германской авиации. Очевидной мерой противодействия представлялось вооружение торговых судов зенитными орудиями, и на некоторых из них орудия были установлены. Спустя почти год было решено проверить, следует ли демонтировать зенитные установки с тех судов, где они были установлены, или, наоборот, вооружить ими и другие суда. В результате анализа сразу же выяснилось, что вражеские самолеты удавалось сбивать только в 4 из 100 случаев нападений. Это был действительно весьма плохой результат, и, казалось бы, отсюда следовало, что вооружение торговых судов нецелесообразно. Однако при более глубоком рассмотрении этого вопроса стало ясно, что процент сбитых вражеских самолетов не может характеризовать истинную величину эффективности. Зенитные орудия предназначались для защиты судов, и показатель эффективности должен был характеризовать сравнительный урон, наносимый вражеской авиацией вооруженным и невооруженным судам. Для получения таких сравнительных характеристик были собраны необходимые данные, показавшие, что вооружение торговых судов заметно повышает вероятность их выживания.
5.	Построение модели

Четвертый этап исследования связан с разработкой модели. Модель выражает взаимосвязь между управляемыми переменными, неуправляемыми переменными, технологическими параметрами и показателями эффективности. Правильное построение модели – основное условие успешной разработки проекта. Неверно построенная модель может привести к ошибочным выводам или оказаться неэкономичной в эксплуатации. Правильно разработанная модель может существенно улучшить экономические результаты деятельности фирмы или эффективность функционирования организации. Разработка модели для анализа изучаемого вида деятельности требует творческого подхода. Кроме того, чтобы правильно понять сущность исследуемой проблемы, необходимо собрать и тщательно проанализировать большой объем данных.
Приступая к разработке модели, нужно прежде всего решить вопрос о возможности использования в рамках модели тех или иных требуемых показателей и соотношений. Нередко адекватность модели зависит от правильного решения данного вопроса. В большинстве задач производственного характера сравнительно просто оценить связь между приростом объема производства и увеличением соответствующих результирующих (выходных) показателей. Можно также дать эмпирическую оценку того, насколько уменьшится вероятность дефицита товара при увеличении его складских запасов на 50 единиц. Однако гораздо труднее точно установить, какое влияние на объем сбыта в текущем году окажут дополнительные расходы на рекламу в размере 5000 руб. и еще труднее оценить эффект этого мероприятия для следующих лет.
Не так давно одна из правительственных организаций США выступила инициатором разработки имитационной модели под сокращенным названием TEMPER (Tecnological, Economic, Military, Political, Evaluation Routine). Эта модель предназначалась для описания влияния коалиций государств, а также внутренней и внешней политики различных стран на складывающуюся в мире ситуацию. Модель эксплуатировалась в течение нескольких месяцев, однако, после того, как ее использование привело к обострению отношений между США и Коста-Рикой, появились определенные сомнения в ее правдоподобии. В результате детального анализа модели был сделан вывод о том, что она не давала и не могла дать правильного описания реальных процессов. Модель была построена без должного понимания связей между управляемыми и неуправляемыми переменными и показателями эффективности. Целевое назначение модели было излишне претенциозным, а понимание проблемы –слишком ограниченным. Результаты, полученные на основе этой модели, показали, что ее разработчики оказались не в состоянии учесть сложные взаимосвязи, которые пока еще полностью даже не выявлены. Правильное представление о моделируемой системе – исходная предпосылка успешной разработки и реализации проекта.
Может быть, лучше вообще не начинать исследования, требующего использования слишком большого числа неизвестных технологических параметров, а также трудноопределяемых соотношений между переменными. К сожалению, нельзя точно указать, какое число таких параметров или соотношений следует считать “слишком большим”. Когда о тех или иных системах известно немного, целесообразность применения методов исследования операций в большой степени определяется тем, каков существующий процесс принятия решений в изучаемой системе. Если в этом процессе участвуют несколько административных органов и руководителей, каждый из которых выражает собственное субъективное мнение, и проводятся обсуждения и согласования, то трудно ожидать, что исследование поможет улучшить результаты. Однако, в том случае, когда решение принимает единственное лицо, не располагающее необходимой исходной информацией, использование модели может улучшить процесс принятия решений. Даже не зная критических соотношений, с помощью модели можно представить проблему в виде подпроблем, каждая из которых исследуется более простыми способами. Это также дисциплинирует деятельность лица, принимающего решение, заставляя его наилучшим образом использовать хотя бы ту информацию, которая имеется в его распоряжении.
Как уже говорилось, модель в явном виде выражает функциональные зависимости, существующие между управляемыми переменными, неуправляемыми переменными, технологическими параметрами и показателями эффективности. Пусть, например, в модели используется следующая совокупность величин: i-я управляемая переменная (), j-я неуправляемая переменная (), k-й технологический параметр или константа (), n-й показатель эффективности ().
Тогда в символической записи модель можно представить в виде функции или множества функций f, связывающих ,  и  с : .
В данной записи показатель представлен в виде явной функции от других параметров; однако это не является обязательным условием, и, более того, такой случай встречается довольно редко.
Существует несколько различных типов соотношений, формирующих модель.
5.1.	Соотношения, вытекающие из определений

Первый тип соотношений – это аналитические выражения физических законов или общепринятых правил учета хозяйственной деятельности, например:

Актив = Пассив + Результирующий доход (в балансе),
Запасы (t) = Запасы (t-1) + Производство (t) - Сбыт (t).

Соотношения такого рода, вытекающие из установленных определений конкретных величин, обычно выводятся достаточно просто и, как правило, почти или совсем не требуют анализа данных.
5.2.	Эмпирические соотношения

Эмпирические соотношения также характеризуют взаимосвязи между двумя или большим числом переменных. Они выводятся на основе изучения данных за прошлый период, анализа технических аспектов, экспериментальных данных, правовых предписаний или сделанных предложений. Примером такого соотношения может служить зависимость между величиной отчислений на уплату налогов T и облагаемого налогом дохода фирмы I.
Налоговая ставка для доходов до 25 тыс. руб. в год составляет 22%, а для части доходов свыше 25 тыс. руб. в год – 48%. В рассматриваемом случае зависимость величины отчислений на уплату налогов от дохода можно представить следующим образом:

В качестве второго примера рассмотрим зависимость между стоимостью сырья R и стоимостью реализуемой продукции S. Если в соответствии с данными за прошлый период для некоторого подразделения фирмы доля затрат на сырье в общей стоимости продукции была практически постоянной и составляла ~ 40%, то формула  может служить примером эмпирического соотношения, используемого при построении модели. Для определения числовых значений параметров, входящих в соотношения данного типа, во многих случаях необходим статистический анализ соответствующих данных.
Построение и использование эмпирических соотношений нередко затрудняется следующими двумя обстоятельствами. Во-первых, имеющиеся данные ретроспективного анализа могут оказаться непредставительными для вывода соотношений, характеризующих рассматриваемую систему в изменившихся условиях текущего периода или в предполагаемых условиях будущего периода. Эти новые условия функционирования системы должны найти отражение либо в изменении числовых значений соответствующих параметров, входящих в рассматриваемые соотношения, либо в изменениях структуры и характера самих зависимостей. Вторая трудность заключается в том, что эмпирические соотношения могут выводиться на основе данных, которые относятся к характеристикам функционирования системы, не отвечающим требуемому уровню эффективности. В этом случае плановые решения, получаемые с помощью модели, не будут стимулировать повышение эффективности системы и не отразят те потенциальные возможности, которые могут быть реализованы при совершенствовании управления.
5.3.	Нормативные соотношения

Третий вид соотношений – это соотношения нормативного характера, т.е. такие, которые устанавливают, как переменные должны быть связаны между собой, а не то, как они были связаны в прошлом. Эти соотношения могут быть результатом тех требований, которые предъявляет управляющий орган к качеству функционирования системы (например, требование высшего руководства может заключаться в том, чтобы запасы продукции не превышали пятидневного объема сбыта). Во многих случаях нормативные соотношения определяются на основе теоретического описания системы с использованием методов исследования операций. Чтобы проиллюстрировать это, опять обратимся к примеру, связанному с капитальным и текущим ремонтом автотранспортных средств. Допустим, что автотранспортные средства разделены на N классов (класс 1 имеет наивысший приоритет, а класс N – самый низкий). Считаем известными следующие параметры:

c	–	число ремонтных площадок;	
	–	средняя длина интервала времени между поступлениями требований на обслуживание транспортных средств класса i, ;	
p	–	коэффициент нагрузки;	
	–	среднее время пребывания в системе обслуживания транспортного средства класса k, .	

Предположим далее, что разработчика модели вполне устраивают допущения о том, что время обслуживания всех классов транспортных средств имеет одинаковое экспоненциальное распределение (очевидно, что для рассмотренной ранее задачи это слишком жесткое допущение) и что поток входящих требований для каждого класса является пуассоновским. При принятых допущениях из анализа данной системы методами теории массового обслуживания следует, что в установившемся режиме среднее время пребывания в системе обслуживания транспортного средства класса k равно

  при  , где

  при  

Приведенное выражение для  представляет собой пример нормативного соотношения.
На конечном этапе построения модели должна быть дана точная аналитическая формулировка рассматриваемой проблемы. Понимание проблемы должно стать более четким, и, кроме того, должны быть выявлены все неясные или ненадежные соотношения. После этого исследователь уже подготовлен к тому, чтобы приступить к разработке вычислительного метода.
6.	Разработка вычислительного метода

Одновременно с проведением работ по построению модели необходимо выбирать или разработать численный метод решения. Для этого нужно выявить следующие моменты:
a) 	следует ли использовать имитационное моделирование или какой-либо из имеющихся методов оптимизации?
b) 	должна ли модель учитывать, что некоторые переменные являются случайными величинами, или же следует использовать детерминированный подход?
c) 	нужно ли учитывать нелинейность некоторых соотношений или достаточно ограничиться их линейной аппроксимацией?
d) 	можно ли использовать существующие методы решения или требуется разработать новый метод?
Конечно, необходимо выяснить, какие нужно сделать допущения и какой метод разработать, для того, чтобы применение модели было практически оправданным в отношении используемых вычислительных процедур. Данный этап включает также проверку предлагаемого численного метода “вручную”; при этом, по крайней мере для небольших тестовых задач, проверяется возможность использования и корректность разрабатываемых методов решения. Из вышеизложенного, конечно, ясно, что некоторые работы на этапах формулировки, построения модели и разработки метода решения частично перекрываются (Рис. 1).
На этапе разработки вычислительного метода часто приходится определять, допустимо ли в данном конкретном случае использование оптимизационного метода решения или необходимо разработать некоторый эвристический алгоритм. Всегда, когда в рамках анализа операций необходима разработка некоторого вычислительного метода, исследователь должен вначале дать исчерпывающую формулировку задачи, если даже вполне очевидно, что в такой постановке она не поддается решению. Обеспечив полную формулировку, исследователь может затем принять ряд допущений, позволяющих упростить модель. Преимущества такой последовательности действий обусловлены несколькими факторами. Во-первых, при реалистической формулировке проблемы исследователь будет уверен в том, что он правильно понимает существо и детали данной проблемы, чего может не быть в том случае, если с самого начала разрабатывается упрощенный вариант модели. Во-вторых, исследователь лучше представит себе, как будет влиять любое из необходимых упрощений на адекватность модели и реализацию вычислительных процедур. И, наконец, если необходимо создать эвристический метод решения задачи, исследователь имеет возможность начать с разработки предполагаемых оптимизационных процедур и в случае необходимости изменить свой подход в нужном направлении. Такая схема действий помогает получить эвристический метод, достаточно эффективный с точки зрения реализации вычислительных процедур и в то же время обеспечивающий получение решения, близкого к оптимальному.
Приведем пример, иллюстрирующий приведенные выше соображения. Требовалось разработать модель для составления календарного графика отправки грузов. Задача состояла в том, чтобы определить необходимое число грузовиков для перевозки груза со склада в течение каждого из 30 четырехчасовых интервалов в пределах недельного периода. Объем отправки грузов в каждом из интервалов ограничивался имеющимися в наличии погрузочными платформами и должен был планироваться таким образом, чтобы отправление грузов в течение недели было равномерным и численность обслуживающего персонала по возможности не меняласъ. Кроме того, если несколько грузовиков направлялось в один и тот же пункт доставки, то эти поездки в течение недели также следовало распределять равномерно. Например, если в некоторый пункт доставки было необходимо направить три грузовика, то они должны были отправляться в понедельник, среду и пятницу.
Грузовики предоставлялись транспортной организацией общего пользования и фирмой контрактных перевозок грузов. Поэтому, кроме равномерности отправления грузов в целом, требовалось, чтобы каждый водитель грузовика имел собственный график работы. В противном случае необходимое для перевозок количество грузовиков могло быть не обеспечено. Например, если конкретный водитель должен был выполнять 10 поездок в неделю, то ему должны быть запланированы 2 поездки в день.
Рассматриваемая задача была сформулирована в виде задачи целочисленного программирования, имеющей очень большую размерность и целевую функцию, представляющую собой некоторый количественный показатель равномерности отправления грузов. Хотя в такой постановке решение задачи вряд ли было возможным, исчерпывающая формулировка послужила надежной основой для разработки рационального метода ее решения. Было выяснено, что как для отдельного водителя, так и для всех грузовиков можно составить частные задачи целочисленного программирования, которые, в силу их специфической структуры, могут быть решены с помощью простых алгебраических методов. Нахождение допустимого решения задачи в целом сводилось к получению совокупности решений частных задач, удовлетворяющих требованиям, сформулированным для общей постановки задачи. Без особого труда удалось разработать простой эвристический метод, позволяющий находить допустимое решение. Оказалось, что предложенный метод решения весьма эффективен в отношении вычислительных процедур и обеспечивает получение отличных результатов. Этот успех был обусловлен главным образом построением модели, адекватно описывающей рассматриваемую проблему и послужившей затем отправным моментом разработки вычислительного метода.
В качестве заключительного замечания относительно численного метода решения кратко остановимся на вопросе выбора одного из двух вариантов:
a) 	найти оптимальное решение упрощенной задачи;
b) 	найти приближенное решение точно сформулированной задачи.
Практический опыт убедительно свидетельствует о предпочтительности второго варианта. Отчасти это связано с тем, что в противном случае трудно быть полностью уверенным в правильности получаемых результатов из-за возможных упущений тех или иных важных аспектов задачи. Ничто так быстро не гасит интерес руководства к проекту по исследованию операций, как явно ошибочные результаты, полученные с помощью модели, не учитывающей то или иное обстоятельство, которое является важным для решения данной задачи. Предпочтительность второго варианта частично обусловливается также и тем, что использование ЭВМ целесообразно как раз для оценки сложных взаимосвязей между многими переменными, а не для решения упрощенного варианта задачи. На практике оптимальное решение может оказаться в лучшем случае недостижимым, но многие выявленные взаимодействующие факторы, влияющие на решение задачи, действительно существуют. Чтобы разобраться в такой сложной ситуации, руководству обычно необходима помощь. Даже если модель и не обеспечит получения оптимального решения задачи, но в ней будут учтены все важные факторы, использование такой модели окажется более полезным, чем оптимальное решение упрощенной задачи.
7.	Разработка технического задания на программирование. Программирование и отладка

Составление программ для ЭВМ во многих случаях является составной частью проводимого исследования. Однако, поскольку разработка программ нередко требует больше времени, чем предполагалось вначале, и так как эта часть проекта в большей степени ориентирована на программиста, а не на пользователя, процесс разработки программ во многих случаях затягивается, что задерживает успешное осуществление проекта. Разработка технического задания на программирование для многих специалистов является неприятной задачей. Такие задания часто составляются небрежно. Это отрицательно сказывается на ходе выполнения проекта, так как только тщательное и аккуратное составление этих заданий обеспечивает должный контроль за качеством последующих работ по программированию и затратами на их выполнение. Тщательная разработка указанных технических заданий обеспечивает также более качественное документальное оформление программ, в результате чего исследование становится в большей степени ориентированным на пользователя и удовлетворение его нужд.
Мы не будет останавливаться здесь на тех требованиях, которые предъявляются к составлению документов такого рода. Обсуждение этих вопросов можно найти в любом хорошем учебнике по системному анализу и проектированию. Для наших целей более важно подчеркнуть особую важность и значение одной из работ, проводимых на данном этапе, – составление ориентированных на пользователя входных и выходных форм (документов), их обсуждение и согласование с соответствующим руководством и управленческим персоналом. Под ориентированными на пользователя выходными формами мы подразумеваем документы, которые обеспечивают пользователя ясно определяемой, хорошо подобранной и удобно размещенной выходной информацией, т.е. такие выходные формы, которые хорошо понятны пользователю. Выходные формы должны составляться прежде всего с учетом требований и целей руководства и управленческого персонала, при этом соображения относительно удобства и легкости программирования должны отойти на второй план. Под ориентированными на пользователя выходными формами мы подразумеваем массив данных, организованный так, что дает возможность обеспечить пользователя быстро подготавливаемой и легко обновляемой информацией. Короче говоря, в этом случае выполнение трудоемких функций, связанных с подготовкой данных, вычислительная система возлагает на ЭВМ, а не на пользователя.
Что это означает с точки зрения системного проектирования, лучше всего показать на примере. На Рис. 4 представлена часть базы данных типичной системы, предназначенной для планирования производства и распределения продукции. Здесь показана лишь часть информации, необходимой для функционирования системы. Из приведенного примера видно, с какой легкостью можно подготовить и интерпретировать элементы базы данных. Фактически каждый, кто знаком с данным вопросом, способен понять смысл каждого злемента и его назначение. В результате информация легко формируется, сохраняется и обновляется.

С
  SAMPLE DATA DECK
C
C
C     RUN DESCRIPTION
C     PERIOD        NUMBER BEGINNING
C                          MONTH DAY YEAR
      QUARTER       4      JAN     1 1973
C
C
C     PRODUCT FILE
C     CODE          DESCRIPTION
      HARDTOP       TWO-DOOR HARD TOP
      CONV          CONVERTIBLE
C
C
C     PRODUCTION PLANTS FILE
C     CODE          DESCRIPTION
      DETROT        DETROIT,MICHIGAN
      FRFURT        FRANKFURT,GERMANY
C
C
C
C     SALES AREAS FILE
C     CODE          DESCRIPTION
      U.S.          UNITED STATES
      EUROPE        EUROPEAN COMMON MARKET
      JAPAN         JAPAN
C
C
C     PRODUCTION MINIMUMS
C     PLANT         LEVEL/WEEK
      DETROT               500
      FRFURT                90
C
C
C     ASSEMBLY CAPACITIES
C     PLANT         CATEGORY       CAP/WEEK PRODUCT I
      DETROT                           1000
      FRFURT                            180
      DETROT        STAT-1             2000 CONV
      FRFURT        SPACE               200 HARDTOP CONV
      DETROT        SPACE               530 CONV
C
C
C     PRODUCT INVENTORY HOLDING COSTS
C     AREA          PERCENT
      U.S.               20
      EUROPE             20
      JAPAN              25

Рис. 4. Часть базы данных.

Стадии программирования и отладки мы здесь только упомянем. Во многих случаях проект по исследованию операций не требует разработки машинных программ, а в случае такой необходимости можно воспользоваться уже имеющимися программами. Например, программы для линейных моделей можно получить от поставщиков вычислительной техники или от вычислительного центра. Даже в тех случаях, когда требуется составление новых программ, эта работа часто выполняется другими подразделениями фирмы. Специалист по исследованию операций может нести ответственность за подготовку программы в заданные сроки и в пределах тех средств, которые были выделены на эту работу. Это обстоятельство также обуславливает необходимость тщательного составления задания на программирование обоснованного плана проекта.
8.	Сбор данных

На этом этапе осуществляется сбор и анализ данных, необходимых для проверки правильности модели и практического использования результатов исследования операций. На предыдущих этапах сбор данных преследовал цели, связанные прежде всего с формулировкой проблемы и построением модели. Рискуя высказать весьма спорное утверждение, мы все же отметим, что данный этап, по-видимому, является единственным из всех этапов исследования, который иногда выполняется с излишним усердием. Часто это обусловлено неоправданным вниманием к точности используемых данных. В связи с этим можно привести пример разработки проекта для одной из фирм, занимающейся производством консервов. Исследование было связано с разработкой модели планирования производства. Необходимые входные данные включали такие параметры, как производительность поточных линий, среднее за месяц количество частов простоя оборудования из-за устранения неполадок или текущего ремонта и удельные затраты на производство консервов на каждой линии. Один из инженеров-технологов был привлечен к разработке проекта для установления значений этих параметров. Большей, чем неуемное стремление этого инженера к точности, была только бесполезность его усилий. Высокая точность исходных данных не требовалась в данном случае по нескольким причинам. Во-первых, эти параметры предполагалось использовать в расчетах вместе с оценками величины спроса, которые часто делались с ошибкой, превосходящей 50%. Во-вторых, модель не предназначалась для разработки детального плана производства.

Рис. 5.

Малосущественные требования производства и другие оперативные факторы не включались в число моделируемых, и было еще множество причин, ограничивающих применимость модели для целей оперативного планирования. Наконец, небольшое изменение входных данных не влияло в данном случае на результат решения. Модель была просто нечувствительна к точности указанных параметров.
При разработке любого проекта обычно оказывается, что к одним входным данным модель оказывается чувствительна, а к другим – нет. Можно сэкономить много времени и усилий, если первоначальный сбор и обработку данных ограничить получением “округленных” оценок. Затем, используя модель, можно выяснить, к каким входным данным она оказалась чувствительной, и после этого провести дополнительную работу для более точной оценки соответствующих исходных данных.
Как правило, на этапе сбора данных специалисту приходится реагировать на типичные возражения руководства относительно использования моделей. Хотя эти возражения формулируются по-разному, их суть сводится к одному: “…но у нас ведь нет таких данных…”. Исследование операций обычно связано с принятием таких решений, которые уже неоднократно делались в прошлом. Отсутствие соответствующих данных просто означает, что эти решения принимались и принимаются без должного обоснования. Поэтому трудности получения необходимых данных не являются препятствием к выполнению продуктивных операционных исследований. Если даже в качестве требуемых входных данных используются оценки на уровне догадок, результаты исследования, вероятно, все же будут способствовать улучшению существующих методов управления. И даже без таких оценок результаты исследования могут помочь сфокусировать внимание руководства на наиболее спорных моментах существующего процесса принятия решений и рекомендовать ему более строгие процедуры логической оценки альтернативных вариантов.
Действенный метод опровержения возражений, высказываемых в связи с “отсутствием данных”, состоит в том, чтобы убедить руководителя в том, что математическая модель является средством, которое позволяет обойти трудности получения соответствующих оценок путем сведения их к более простым измерениям. Это лучше всего делается с помощью наглядного примера. Начните с оценки площади треугольника (в квадратных сантиметрах), изображенного на Рис. 5. Запишите ваше предложение.
Если вы попытаетесь непосредственно оценить площадь, то наверняка убедитесь, что сделать это весьма затруднительно. Лучший способ оценки заключается в том, чтобы сначала вывести соотношение между площадью треугольника и длиной его сторон (т.е. построить математическую модель). Это соотношение имеет вид: , где  – площадь треугольника,  – его основание и  – высота. Теперь оцените размеры основания и высоты и вычислите площадь треугольника, используя математическую модель. Запишите результаты этой второй оценки. Наконец, измерьте основание и высоту и вычислите точную площадь треугольника. Вы, вероятнее всего, обнаружите, что ваша вторая оценка точнее первой.
Использование моделей, разрабатываемых при исследованиях операций, помогает в процессе принятия решений аналогичным образом. Решение проблемы сводится к простейшим измерениям, установлению исходных переменных и показателей эффективности, которые представляют собой функции от этих переменных. В этом случае может потребоваться больше данных, но получить их проще, а требования к их точности будут менее жесткими.
9.	Проверка модели

Важность этого этапа трудно переоценить. Он включает две фазы: определение способов проверки модели и осуществление этой проверки. На первой фазе выбираются аналитические и экспериментальные методы для проверки непротиворечивости, чувствительности, реалистичности и работоспособности модели. Каждая из этих характеристик модели рассматривается ниже. Для осуществления проверки модели требуются данные, собранные на предыдущем этапе. Результаты такой работы нередко приводят к необходимости перестройки модели и, соответственно, к составлению новых программ.
9.1.	Непротиворечивость

Дает ли модель не противоречащие логике результаты при вариации величин важнейших параметров, особенно в тех случаях, когда их значения близки к экстремальным? Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо проанализировать характер реакции модели на изменения соответствующих входных параметров. Следующий пример показывает, как можно проверить непротиворечивость модели.
Приведенная ниже формула для определения экономически выгодного размера партии получена при решении задачи управления запасами, аналогичной той, решение которой обычно приводит к простому соотношению, определяющему такой размер партии. Главное отличие рассматриваемой задачи состояло в том, что оптимальный размер партии следовало определить в условиях, когда заказ удовлетворялся поставщиком, возможности которого характеризовались конечной величиной интенсивности поставок, равной . Оптимизационная модель, минимизирующая соответствующий показатель затрат, привела к следующей формуле для определения экономически выгодного размера заказываемой партии:

    при ,

где  – оптимальный размер партии,  – величина годового спроса,  – накладные расходы, связанные с хранением,  – полная стоимость хранения,  – интенсивность поставок.
Частично непротиворечивость модели можно проверить, приняв допущение о бесконечной интенсивности поставок и выяснив, преобразуется ли в этом случае исходная формула в классическую формулу для определения экономически выгодного размера партии. Проверим это:

.

Таким образом, как и должно быть, мы получили обычную формулу для определения оптимальной величины заказываемой партии.

Рис. 6. Чувствительность  к параметру .
9.2.	Чувствительность

Соответствуют ли относительные изменения выходных переменных модели небольшим изменениям ее параметров? Анализ чувствительности модели обычно требует проведения численных расчетов. В случае рассмотренной выше модели управления запасами можно при принятых постоянных значениях ,  и  проверить зависимость  от . В результате должна получиться кривая, аналогичная показанной на Рис. 6.
9.3.	Реалистичность

Соответствует ли модель тем частным случаям, для которых уже имеются фактические данные? Хорошей иллюстрацией анализа этой характеристики модели может служить следующий пример. Была разработана математическая модель для определения уровня дивидендов, которые должны объявлять 80 заграничных филиалов некоторой компании, расположенных в 32 странах. В модель были включены ограничения, отражающие:
a) 	политику компании;
b) 	требования министерства торговли, устанавливаемые для предотвращения утечки золота;
c) 	предписания и инструкции налогового управления.
При соблюдении этих ограничений с помощью модели должны были определяться оптимальные уровни объявляемых дивидендов, при которых общая сумма выплачиваемых компанией налогов была минимальна. Для проверки реалистичности разработанной модели были использованы данные за последний год, включая и данные о фактически объявленных дивидендах. При соответствующих значениях входных параметров модели было определено значение целевой функции, которое с точностью 0,1% совпало с величиной фактически выплаченных налогов. Помимо подтверждения реалистичности модели, такая проверка оказалась крайне полезной и для того, чтобы на практическом примере продемонстрировать ее справедливость руководству фирмы и юристу.
9.4.	Работоспособность

Легко ли получить решение с помощью предлагаемой модели? Если она должна использоваться в процессе выработки решений, принимаемых руководителями линейных подразделений, то необходимо, чтобы расчеты можно было выполнить в пределах сроков, установленных для подготовки соответствующих решений. Кроме того, трудозатраты и ресурсы, требуемые для эксплуатации модели, должны укладываться в установленные лимиты машинного времени и фонда зарплаты. Нередко это вынуждает исследователя использовать приближенные методы и эвристические процедуры даже тогда, когда это не обусловлено технической необходимостью.
Возможно, что описываемый ниже случай действительно имел место. В одной из военных научно-исследовательских организаций США была разработана имитационная модель танкового сражения. В день, когда началась арабо-израильская война 1967 г., объединенный комитет начальников штабов армии США потребовал проведения расчетов по этой модели для получения прогноза относительно исхода войны. Ответ из организации был получен на следующий день. В соответствии с прогнозом война должна была закончиться в течение пяти суток. Объединенный комитет начальников штабов счел эти результаты необоснованными и предложил разработчикам модели изменить ее параметры, повторить расчеты и представить более правдоподобные результаты. Это было сделано, однако новая оценка продолжительности войны отличалась от прежней только на полсуток. К этому времени война закончилась. Разработанная модель была не только не способна дать верный прогноз (с точностью, достаточной для целей правительственных органов), но и не позволяла получить результаты в крайне сжатые сроки. Расследование выявило следующее. Предсказание было получено без применения модели. Ее использование потребовало бы нескольких недель, если не месяцев, только для сбора исходных данных. Вместо этого разработчики модели обратились к одному из своих сослуживцев, в прошлом — офицеру танковых войск Германии, воевавшему под командованием Роммеля в Африканском корпусе. Ему и принадлежало это предсказание.
Второй важный аспект проверки модели связан с использованием контрольных данных для оценки ее свойств с учетом реальных внешних условий. Это особенно важно при разработке проектов, ориентированных на получение одноразовых решений. Проверка модели, встраиваемой в традиционную систему управления, представляет собой более сложный процесс, включающий эксплуатацию модели и формальный анализ. Наиболее существенный момент проверки модели, предназначенной для получения одноразового решения, состоит в том, что после завершения вычислительных процедур и получения решения следует осмыслить и критически проанализировать полученные результаты. Таким образом, после получения решения задач с помощью модели специалисту еще многое следует уточнить и проверить, прежде чем представить руководству оценку всех альтернативных вариантов, а также соответствующие выводы и рекомендации. Цель такой работы состоит в том, чтобы глубже проникнуть в сущность рассматриваемой проблемы, подвергая сомнению те допущения, которые были положены в основу построения модели и ее применения. В литературе описывается исследование, выполненное с помощью анализа дерева решений и предназначенное для оценки некоторой операции, обещающей фирме определенные выгоды. Это исследование выполнено группой, которая была составлена из персонала, обслуживающего линейное руководство некоторой фирмы. Разработка программы была проведена за четыре месяца; еще два месяца ушло на то, чтобы получить с ее помощью решение. Потребовалось 140 прогонов программы, прежде чем было найдено решение, рекомендующее осуществление указанной операции и проведение определенной стратегии в отношении производства и сбыта. Руководство высшего уровня отвергло полученные рекомендации, однако это произошло только после того, как совет директоров фирмы выступил против проведения данной операции по вполне определенным причинам юридического характера. Юристы выявили, что при анализе проблемы был упущен один из важнейших аспектов ее рассмотрения, в результате чего проведенная работа оказалась бесполезной. Если бы, прежде чем представить полученные результаты высшему руководству, разработчики более тщательно проверили принятые допущения, завершение проекта могло бы оказаться более успешным.
10.	Реализация результатов исследования операций

Слишком часто после разработки и проверки модели специалист по исследованию операций считает свою работу законченной. Однако это неверно. В действительности же многие трудности возникают только на конечном этапе разработки проекта, связанном с реализацией полученных результатов. Эффективность операционного проекта в целом существенно зависит от того, в какой мере удалось обеспечить при его разработке сотрудничество руководителей различных уровней управления, ответственных за решение исследуемой проблемы или выполнение функций, имеющих к ней определенное отношение. Препятствия, с которыми приходится сталкиваться в процессе исследования, во многих случаях обусловлены не серьезными причинами, а лишь отсутствием понимания и нежеланием перемен. Такие препятствия можно преодолеть, но лишь в том случае, если разработчик потратит необходимое для этого время и проявит должную настойчивость. Для успешной реализации проекта необходимы: составление материалов для ознакомления управленческого персонала с принципами функционирования внедряемой системы, подготовка и проведение соответствующих семинаров и наглядная демонстрация результатов исследования на практических примерах. Хотя к моменту завершения проекта многие руководители могут быть уже ознакомлены со всеми моделями и разработанными системами, все же весьма важно еще раз убедиться в том, что их представления достаточно основательны и имеются нужные материалы для обучения других сотрудников. Такие меры увеличивают полезный срок службы моделей. Только при должном стремлении исследователя к взаимодействию и взаимопониманию в работе со всеми, чью деятельность он изучает и анализирует, можно обеспечить действенное сотрудничество и успешное завершение исследования операций. Если между разработчиком и руководителем необходимые контакты и сотрудничество не установлены, процесс внедрения результатов сводится к обмену любезностями.
Нередко забывают об одном важном факторе, затрудняющем процесс внедрения новой системы, — наличии задач, требующих срочного решения, и тех нарушениях, которые они вносят в процесс внедрения. Как правило, проявлений этого фактора трудно избежать, даже если система уже апробирована и показала свою работоспособность. Имеется несколько путей успешного преодоления этих затруднений, возникающих на стадии внедрения. Один из них состоит в том, чтобы, когда это представляется возможным, проводить сравнение экспериментальных данных с результатами, полученными традиционными методами. В этом случае нужно обратить особое внимание на то, чтобы все заинтересованные лица заранее представляли себе все те трудности, которые могут встретиться в дальнейшем. Более важно, однако, чтобы исследователь располагал:
1) 	тщательно разработанным планом проведения испытаний;
2) 	предварительно проверенным методом сравнения опытных результатов с фактическими данными;
3) 	средствами сбора тех опытных и фактических данных, сравнение которых предусмотрено планом;
4) 	ресурсами, необходимыми для того, чтобы внести изменения, требующиеся для преодоления возникающих затруднений;
5) 	согласием руководства на проведение в необходимых случаях таких испытаний и в дальнейшем.
Группа исследования операций и работники организаций, имеющие отношение к внедрению новой системы, должны понимать, что необходим некоторый период времени для устранения недостатков, всегда присущих новой системе. Однако иногда наступает такой момент, когда руководитель и исследователи вынуждены смириться и признать, что проект, о котором до недавнего времени говорили с таким оптимизмом и которому отдали так много сил, совершенно непригоден. Это случается, и гораздо чаще, чем нам хотелось бы. Материал, изложенный здесь, возможно, поможет уменьшить вероятность такого исхода.

Кафедра оптимального управления

Составитель: Третьяк А.И.